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Gauss´sche Koordinaten

"Ich komme immer mehr zu der Ueberzeugung, dass die Notwendigkeit unserer Geometrie nicht bewiesen werden kann, wenigstens nicht vom menschlichen Verstande noch fuer den menschlichen Verstand. Vielleicht kommen wir in einem anderen Leben zu anderen Einsichten in das Wesen des Raumes, die uns jetzt unerreichbar sind. Bis dahin muesste man die Geometrie nicht mit der Arithmetik, die rein a priori steht, sondern etwa mit der Mechanik in gleichen Rang setzen." (K. F. Gauss: Werke. Koenigliche Gesellschaft der Wissenschaften zu Goettingen; Leipzig 1863-1903; Bd. VIII; Seite 177)

Johann Carl Friedrich Gauß (* 30. April 1777 in Braunschweig; † 23. Februar 1855 in Göttingen) war Mathematiker, Astronom, Geodät und Physiker. Er untersuchte experimentell geometrische Strukturen des Raumes auf nicht-Euklidischer Grundlage. Wichtige Erkenntniss für die Geographie ist die "Gauss`sche Krümmung", die die Moeglickeit einer inneren Kruemmung als reziprokes Produkt der beiden Hauptradien von Flaechen besagt. Zur Darstellung dieser Kruemmung definierte Gauss zwei Kurvenscharen auf einer Flaeche. Entlang der Kurve der ersten Art (x1) ist x2 konstant; entlang aller anderen Kurven (x2) ist x1 konstant. Die Kurven muessen die gesamte Flaeche bedecken, wenn die Konstanten sich aendern, und jede x1-Kurve darf jede x2-Kurve hoechstens in einem Punkt schneiden. Damit ist jeder Punkt auf der Flaeche bestimmt durch die Werte von x1 und x2 der Kurven, die diesen Punkt durch Schneidung hervorbringen. Diese Punkte heissen heute die "Gauss´schen Koordinaten" des entsprechenden Punktes auf einer bestimmten Flaeche, wie zum Beispiel der Laengen- und Breitengrade auf der Erdkugel. Hierbei ist die x1-Kurve mit konstantem x2 (Breite) ein Breitenkreis, die x2-Kurve mit konstantem x1 (Laenge) ein Meridian. Wenn nun ds das Bogenelement einer Kurve auf dieser Fläche ist, laesst sich nach dem Pythagoreischen Theorem in Cartesischen Koordinaten darstellen, dass

ds im Quadrat gleich g11dx1 im Quadrat plus 2g12dx2 plus g22dx2 im Quadrat ist bzw. ds im Quadrat ist gleich g(mn)dx(m)dx(n), wobei (m) und (n) ueber 1 und 2 zu summieren sind.


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